Coût moyen minimal

Une entreprise produit entre \(1\)  millier et \(5\)  milliers de pièces par jour. Le coût moyen de production d'une pièce, en milliers d'euros, pour \(x\)  milliers de pièces produites, est donné par la fonction \(f\)  définie pour tout réel \(x \in \left[1 \ ; \ 5\right]\)  par  \(f(x) = \dfrac{0,5x^3 - 3x^2 + x + 16}{x}\) .

1. Calculer le coût moyen de production d'une pièce lorsque l'entreprise produit

\(2\)  milliers de pièces.

2. On admet que  \(f\)  est dérivable sur \(\left[1 \ ; \ 5\right]\)  et on note \(f'\)  sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel \(x \in \left[1 \; ; \; 5\right]\) ,  \(f'(x) = \dfrac{x^3 - 3x^2 - 16}{x^2}\) .

3. Vérifier que, pour tout réel \(x\) ,  \(x^3 - 3x^2 - 16 = \left(x- 4\right)\left(x^2 + x + 4\right)\) .

4. En déduire le tableau de variations de \(f\)  sur  \(\left[1 \; ; \; 5\right]\) .

5. Déterminer le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de production

d'une pièce soit minimal, ainsi que la valeur de ce coût minimal.

D'après un sujet d'E3C, voie générale, spécialité mathématiques.